Derivabilidad con parámetros

En los ejercicios de derivabilidad, a veces no se nos pide que comprobemos si es derivable o no una función. Nos ponen una función en la que aparecen uno o más parámetros desconocidos y nos piden que calculemos el valor de estos parámetros para que la función sea derivable.

En este tipo de ejercicio se hacen los mismos pasos, pero en lugar de calcular si los límites laterales o las derivadas laterales coinciden, los igualamos directamente para “obligarlos” a que coincidan y creamos ecuaciones en las que las soluciones serán los valores para los que la función sí sea derivable.

En el ejemplo del vídeotutorial la función tiene dos parámetros, a y b, que serán los que tendremos que calcular para que la función sea derivable. La función es:

funcion parametros

Continuidad en x=1

continua en uno

Y por tanto, para que la función sea continua en x=1 se tiene que cumplir que a+b-1=0 → a+b=1.

Para comprobar la derivabilidad, primero hay que hacer la función derivada.

derivada parametros

Y la derivabilidad en x=1 será comprobar que se cumple:

laterales parametros

Y, por lo tanto, para que la función sea  derivable en x=1, se tiene que cumplir que 2a+b=2.

Con todo esto, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolvemos el sistema para encontrar la a y la b.

sistema ecuaciones

Es decir, que si a=1 y b=0, la función será continua y derivable en x=1.

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