El nombre del infinito y hoteles infinitos

signo infinito¿Sabías que el símbolo utilizado para el infinito, ese 8 tumbado, tiene nombre? Así es, se llama lemniscata.

Aunque Jonh Wallis no fue el primer matemático en utilizar el concepto de infinito, sí que fue el primero en utilizar el símbolo ∞, la lemniscata, para representar el infinito.

También hay varios tipos de infinitos. Hay infinitos más grandes que otros. ¿Cómo puede ser? si el infinito debería ser muy simple: algo (un conjunto) se acaba o no, es infinito o no, se puede contar todo lo que hay o no… mmmm… en lo de poder contar o no está la cuestión. Hay infinitos numerables y otros no numerables, y estos últimos son mucho más grandes que los numerables.

¿Conoces el hotel de Hilbert? Yo te lo explico.

Imagina un hotel con infinitas habitaciones, todas numeradas (primera, segunda…) y todas ocupadas.

hilbert hotelAhora viene un nuevo huésped, pero como tenemos infinitas habitaciones le decimos que no hay problema, que enseguida le asignamos una. ¿Cómo? Le decimos al huésped que está en la primera habitación que se vaya a la segunda, al que está en la segunda que se vaya a la tercera, y así sucesivamente… de modo que todo el mundo tiene una nueva habitación y la número 1 ha quedado libre para nuestro nuevo huésped. ¿Sabrías qué hacer si llegaran 2 nuevos huéspedes? ¿y si llegaran 5? Claro que sí, simplemente tendríamos que pedir que los que ya tienen habitación que se desplazaran 2 o 5 habitaciones más. Todo el mundo sabría cuál es la nueva habitación que le toca y volveríamos a tener las primeras habitaciones libres para los nuevos huéspedes.

infinitos huespedes¿Pero y si llegan infinitos nuevos huéspedes? Ahí es donde entran los tipos de infinitos. Como los nuevos huéspedes también son “numerables” (primero, segundo,…) los podré recolocar en las habitaciones porque nuestros infinitos son “iguales”. ¿Cómo? Venga que no os quiero dejar más rato con la intriga… Una forma sencilla sería pedir a los que ya están alojados se fueran a la habitación que su número corresponda con el doble de la que están ahora, el de la 1 a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6 y así sucesivamente, de manera que habría recolocado a todos en las habitaciones pares y tendría infinitas habitaciones (las impares) para los nuevos infinitos huéspedes. Todo esto puedo hacerlo porque todos los infinitos numerables son “igual de grandes”.

¿Pero entonces todos los infinitos son numerables? No, hay infinitos no numerables y por tanto mucho más grandes. Un ejemplo de conjuntos que no se puede numerar son los números reales (números con decimales finitos o infinitos, periódicos o no periódicos). Yo sé que después del 2 va el 3 en los números naturales, pero no sé qué número real va después de 2,1. No es el 2,2 porque antes va el 2,15, pero antes va el 2,11, y antes de este el 2,101 y así con infinitos números que no podría contar. Es más, hay más números reales entre el 0 y el 1 que todos los números naturales juntos. Obviamente, no son infinitos iguales.

Ay este Hilbert…

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