Recta perpendicular a un plano

En este vídeotutorial  queremos calcular la recta que es perpendicular a un plano si sabemos un punto por el que pasa. Como este problema es de lugares geométricos en el espacio, aunque para calcular una recta seguiré necesitando dos puntos o un punto y su vector director, su expresión ya no es una ecuación sino dos ecuaciones, ya que una recta la podríamos ver como la intersección de dos planos, los cuales sí que tienen una ecuación cada uno.

Como veréis en el vídeotutorial, la ecuación de una recta perpendicular a un plano que pasa por un punto dado se hace en un momento si la podemos expresar en forma vectorial. Para ello es necesario saber una propiedad de la ecuación general de un plano. La propiedad es que si tengo un plano de la forma ∏: Ax + By + Cz + D = 0, el vector de componentes n = (A, B, C) cumple que es perpendicular al plano, es decir, es un vector normal al plano.

Sabiendo esta propiedad el ejercicio se hace en un segundo, porque si para calcular la ecuación vectorial de una recta necesito un punto y un vector, los dos los tengo, ya que el punto me lo dan en el enunciado y el vector director, al ser la recta perpendicular, es el vector perpendicular del plano que también lo sé si tengo la ecuación general del plano.

También veréis que he seguido el ejercicio hasta pasar la recta a su ecuación general. Si no nos dicen nada en el examen tenéis derecho a dejar la recta como queráis, pero lo normal es que si los datos (en este caso, la ecuación del plano) están en forma general, el resto de ecuaciones que calcule que sean también en forma general. Otra razón por la que he seguido con el ejercicio hasta dejar la recta en ecuación general, es que a veces es necesario si en el ejercicio me piden más cosas; como el punto de corte de recta y plano (sería resolver el sistema de ecuaciones) o el punto simétrico (utilizamos también el punto de corte). Por eso es importante tener práctica en saber pasar de un tipo de ecuación a otra, tanto en planos como en rectas, y mejor aún si sabemos hacerlo de más de una manera, ya que cada una nos da unos datos o es útil para diferentes cosas que nos puedan pedir.

Por último, tened en cuenta que este método sirve también para hacer el problema al revés: Sé una recta y quiero calcular el plano perpendicular a ella que pasa por un punto dado. Aquí lo rápido es que el vector director de la recta lo ponemos en los coeficientes de la ecuación general del plano. Luego sustituiríamos el punto para calcular el término independiente (la D en la ecuación del plano) y ya tendríamos el plano. Si con esta breve explicación no os queda del todo claro, no dudéis en poner un comentario con vuestras dudas o pedirme un vídeotutorial en concreto.

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